拉格朗日方程(二阶伯努利方程)

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拉格朗日定理公式是什么

拉格朗日定理公式是：设 \(p\)为素数，在模 \(p\)意义下的 \(n\)次多项式 \(f(x)= a_n\cdot x^n+\cdots+a_1\cdot x+a_0(p\nmid a_n)\)，那么同余方程 \(f(x)\equiv 0\pmod p\)在模 \(p\)意义下最多有 \(n\)个不同的解。

证明：

对 \(n\)使用数学归纳法。当 \(n=0\)时，由于 \(p\not\mid a_0\)，所以方程无解。那么当 \(n=0\)是定理成立。

假设命题对次数小于 \(n\)的多项式都成立。通过证明如果 \(n\)次多项式有 \(n+1\)个解，那么 \(n-1\)次多项式有 \(n\)个解来推出矛盾。

考虑次数为 \(n\)的多项式。如果存在一个 \(n\)次多项式 \(f(x)\)，使得 \(f(x)\equiv 0\pmod p\)在模 \(p\)意义下有 \(n+1\)个不同解 \(x_0, x_1,\dots,x_n\)。

因式分解可得 \(f(x)=(x-x_0)\cdot g(x)\)，其中 \(g(x)\)在模 \(p\)意义下是一个至多 \(n-1\)次的多项式。所以对任意 \(x_i(1\leq i\leq n)\)。

有：\[(x_i-x_0)g(x_i)\equiv f(x_i)\equiv 0\pmod p\]，而 \(x_i\not\equiv x_0\pmod p\)，所以 \(g(x_i)\equiv 0\pmod p\)，从而 \(g(x)=0\pmod p\)在模 \(p\)意义下至少有 \(n\)个解，与归纳假设矛盾。

所以定理对 \(n\)次多项式也成立。

第二类拉格朗日方程

第二类拉格朗日方程是一种基于能量函数的标量型微分方程，它能直接导出与每个独立广义坐标一一对应的全部运动微分方程。

它已经找到两类首次积分，分别具有“厂一义动量守恒”和“广义能量守恒”的明确物理意义；它的解题过程规范化而不易出错基于这些优点。

第二类拉格朗日方程是处理非自由质系（尤其是多自由度系统）动力学问题的重要理论基础，并能有效地应用于柔体或刚一柔祸合系统，因而被列为理论力学课程多学时教学大纲的基本要求，是我国相应理论力学教材的重要内容之一[一5]。

第二类拉格朗日方程的导出过程涉及较多的高等数学变换和演绎过程，成为教学的一个难点。学生普遍反映“太抽象”、“为什么要这样变来变去”、“拉格朗日怎么会想出这些奇妙的变换的？”。

从功率方程推导第二类拉格朗日方程：

从功率方程推导第二类拉格朗日方程杨光（吉林工学院基础科学系，长春130012）摘要改变了作为分析力学基础方程——拉格朗日方程（Ⅱ）传统的推导方法，采用以广义速度和广义坐标表示功率方程的简捷直观的新的推导方法。

关键词广义坐标广义速度分类号O313．30引言在理论力学求解非自由质点系的动力学问题时，传统上都是从动力学普遍方程来推导第二类拉格朗日方程，其中必须用到两个辅助性的关系式。这种推导方式思路迂回，不易理解。

实际上，拉格朗日方程是一组以广义坐标表示的微分形式的能量方程，而功率方程也是表征系统能量变化关系的微分方程。因此，功率方程与拉格朗日方程之间存在着比动力学普遍方程与拉格朗日方程之间更近的“血缘关系”。

如果将功率方程也用广义坐标和广义速度来表示，就会很方便地推导出拉格朗日方程。

关于微观经济学中的拉格朗日函数

先说用法吧，拉格朗日乘子法是用来求有限制的下最优解的，这里限制条件就是制约函数，求得就是在满足g（X）=b时f(X)的最值。

下面说具体内容，举个栗子比较容易讲：

假设f(X)是效用函数，g（X）=b是成本约束，为了简便X=x好了（只有一个约束），另外假设x的价格为p，后面会用到。

那等式L=f(x)+λ[b-g(x)]的意义就是如何在花光b那么多预算的时候让f(x)最大，答案显而易见就是当b=g(x)时所有预算花光，剁手剁得很欢快。这时λ就是收入的边际效用，也就是b每增加1各单位，效用就会增加λ那么多。证明如下：

对L求x和λ的一阶偏导，得到：

1.dL/dx=f'(x)+λg'(x)=0

2. dL/dλ=b-g(x)=0

第2个等式就是制约条件，意思就是预算被花光（因为完整的拉格朗日乘子法是允许不花光的）。

等式1变形得

3.λ=f'(x)/g'(x)

λ的定义就出来了，也就是当b每增加1个单位，g'(x)=1/p，就是花在x上的钱多了1，同时买了1/p那么多的x，这时λ=f'(x)/p，就是1单位收入带来的额外效用。

这时因为X是一元的所以最值不用另外求，就是当x=g^(-1)[b]时f(x)最大。

现在变成二元的，X=(x,y)，g（.）依旧是成本，f（.）还是效用，但这时λ还是一样的意义，只不过一阶偏导变成了3个:

dL/dx=0

dL/dy=0

dL/dλ=0

三元一次方程组解出唯一解的话就是最优了。

当X上升为n元时，也就意味着要同时考虑n个条件，就像是同时用b购买有n种商品，要求效用的最优解。这时唯一的不同只是方程组的未知数变多了，解法还是一样的。

扩展资料：

拉格朗日函数是在力学系上只有保守力的作用，是描述整个物理系统的动力状态的函数。

在分析力学里，一个动力系统的拉格朗日函数，是描述整个物理系统的动力状态的函数，对于一般经典物理系统，通常定义为动能减去势能，以方程表示为其中，为拉格朗日量，为动能，为势能。

在分析力学里，假设已知一个系统的拉格朗日函数，则可以将拉格朗日量直接代入拉格朗日方程，稍加运算，即可求得此系统的运动方程。

分析力学方面

在分析力学里，一个动力系统的拉格朗日量（英语：Lagrangian），又称为拉格朗日函数，是描述整个物理系统的动力状态的函数，对於一般经典物理系统，通常定义为动能减去势能。

力学方面

在力学系上只有保守力的作用，则力学系及其运动条件就完全可以用拉格朗日函数表示出来。这里说的运动条件是指系统所受的主动力和约束。因此，给定了拉氏函数的明显形式就等于给出了一个确定的力学系。拉氏函数是力学系的特性函数。

微观经济学的历史渊源可追溯到亚当·斯密的《国富论》，阿尔弗雷德·马歇尔的《经济学原理》。20世纪30年代以后，英国的罗宾逊和美国的张伯伦在马歇尔的均衡价格理论的基础上，提出了厂商均衡理论。标志着微观经济学体系的最终确立它的体系主要包括：均衡价格理论，消费经济学，生产力经济学，厂商均衡理论和福利经济学等。

微观经济学的发展，迄今为止大体上经历了四个阶段：

第一阶段：17世纪中期到19世纪中期，是早期微观经济学阶段，或者说是微观经济学的萌芽阶段。

第二阶段：19世纪晚期到20世纪初叶，是新古典经济学阶段，也是微观经济学的奠定阶段。

第三阶段：20世纪30年代到60年代，是微观经济学的完成阶段。

第四阶段：20世纪60年代至今，是微观经济学的进一步发展、扩充和演变阶段。

通观微观经济学的发展过程与全部理论，始终围绕着价格这一核心问题进行分析，所以微观经济学在很多场合又被称为“价格理论及其应用”。

参考资料：百度百科-拉格朗日函数

拉格朗日公式是什么

拉格朗日公式：

拉格朗日方程：

对于完整系统用广义坐标表示的动力方程，通常系指第二类拉格朗日方程，是法国数学家J.-L.拉格朗日首先导出的。通常可写成：

式中T为系统用各广义坐标qj和各广义速度q'j所表示的动能；Qj为对应于qj的广义力；N(=3n-k)为这完整系统的自由度；n为系统的质点数；k为完整约束方程个数。

插值公式：

线性插值也叫两点插值，已知函数y= f(x)在给定互异点x0, x1上的值为y0= f(x0)，y1= f(x1)线性插值就是构造一个一次多项式。

约瑟夫·拉格朗日简介：

约瑟夫·拉格朗日（Joseph Louis Lagrange)，法国数学家、物理学家。他在数学、力学和天文学三个学科领域中都有历史性的贡献，其中尤以数学方面的成就最为突出。拉格朗日公式（lagrange formula）包括拉格朗日方程、拉格朗日插值公式、拉格朗日中值定理等。

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